Teknobench
Kategoriji ▾
Lingwa: mt ▾

Solutur tal-ekwazzjonijiet kwadratiċi

Solvi kwalunkwe ekwazzjoni kwadratika ax² + bx + c = 0 bid-diskriminant, għeruq eżatti, għeruq kumplessi, forma tal-vertiċi, forma fattorizzata u grafiku.

Ekwazzjoni ax² + bx + c = 0

Numri sħaħ, deċimali u frazzjonijiet bħal 1/2 huma aċċettati. b jew c vojt jgħodd bħala 0.

Eżempji

–

    Soluzzjoni pass pass

    Kif tuża s-solutur tal-ekwazzjonijiet kwadratiċi

    1. Ikteb it-tliet koeffiċjenti ta’ ax² + bx + c = 0 f’Koeffiċjent a, Koeffiċjent b u Koeffiċjent c. Numri sħaħ, deċimali u frazzjonijiet bħal 1/2 huma aċċettati, u b jew c vojt jgħodd bħala 0.
    2. It-tweġiba tiġġedded hekk kif tikteb; Solvi tagħmel l-istess. Naddaf tbattal it-tliet kaxxi u Ikkopja tikkopja l-ekwazzjoni u s-soluzzjonijiet tagħha.
    3. Aqra s-Soluzzjonijiet: kull għerq jintwera f’forma eżatta, segwit minn approssimazzjoni deċimali meta l-valur eżatt mhuwiex deċimali qasir.
    4. Taħt, l-għodda telenka d-Diskriminant Δ, il-Vertiċi, l-Assi tas-simetrija, l-Interċezzjoni ma’ y, id-direzzjoni li fiha l-parabola tinfetaħ u s-Somma, prodott tal-għeruq. Isegwu t-tliet Forom tal-funzjoni (standard, tal-vertiċi u fattorizzata) u Grafiku tal-parabola.
    5. Is-Soluzzjoni pass pass terġa’ tgħid ix-xogħol kollu: id-diskriminant, l-għerq kwadru ta’ Δ, il-formula kwadratika, iż-żewġ għeruq, il-vertiċi, il-forma fattorizzata u verifika.

    Il-buttuni Eżempji jgħabbu każijiet tipiċi: żewġ għeruq b’numri sħaħ, għerq doppju, għeruq kumplessi u għeruq irrazzjonali.

    Il-formula kwadratika u d-diskriminant

    Ekwazzjoni kwadratika għandha l-forma ax² + bx + c = 0 b’a ≠ 0. Is-soluzzjonijiet tagħha jingħataw mill-formula kwadratika:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), fejn Δ = b² − 4ac

    Id-diskriminant Δ jiddeċiedi kollox:

    • Δ > 0: żewġ għeruq reali distinti. Jekk Δ huwa kwadru perfett (u l-koeffiċjenti huma razzjonali), l-għeruq huma razzjonali u l-polinomju jiġi fattorizzat sew, per eżempju x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: għerq doppju wieħed, x = −b / (2a). Il-parabola tmiss l-assi x fil-vertiċi tagħha.
    • Δ < 0: l-ebda għerq reali. L-għerq kwadru ta’ numru negattiv huwa immaġinarju, √Δ = i√|Δ|, allura l-għeruq huma żewġ konjugati kumplessi bħal −1 ± 2i.

    Din l-għodda tikkalkula b’frazzjonijiet eżatti, allura qatt ma titlef preċiżjoni. Meta √Δ mhuwiex numru sħiħ, tissimplifika l-għerq (√32 = 4√2) u tnaqqas ir-riżultat: x² + 3x + 1 = 0 jagħti x = (−3 ± √5)/2, u x² − 8 = 0 jagħti x = ±2√2.

    Forma tal-vertiċi, forma fattorizzata u grafiku

    Il-forma tal-vertiċi a(x − h)² + k turi direttament il-vertiċi (h, k), b’h = −b / (2a) u k = −Δ / (4a). Il-linja x = h hija l-assi tas-simetrija: iż-żewġ għeruq huma fl-istess distanza minnha. Meta a > 0 il-parabola tinfetaħ ’l fuq u k huwa l-minimu tagħha; meta a < 0 tinfetaħ ’l isfel u k huwa l-massimu.

    Il-forma fattorizzata a(x − x₁)(x − x₂) tuża l-għeruq. Bl-għeruq razzjonali l-għodda tikteb fatturi b’numri sħaħ, per eżempju 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Meta Δ < 0 ma tistax tiġi fattorizzata fuq in-numri reali, u l-għodda tgħid hekk qabel ma turi l-fatturi kumplessi.

    Il-grafiku jitfassal bi skala madwar il-vertiċi u l-għeruq. Punti blu jimmarkaw l-għeruq reali, il-punt oranġjo jimmarka l-vertiċi u l-linja mqattgħa hija l-assi tas-simetrija.

    Bħala verifika finali l-għodda tapplika l-formuli ta’ Viète: x₁ + x₂ = −b/a u x₁ × x₂ = c/a.

    Mistoqsijiet frekwenti

    X’jiġri jekk a = 0?

    L-ekwazzjoni mbagħad hija lineari, bx + c = 0, u l-għodda tissolviha hekk: x = −c / b. Jekk b hija 0 ukoll, jew kull numru huwa soluzzjoni (c = 0) jew ma hemm l-ebda waħda (c ≠ 0).

    Għaliex nikseb riżultat b’i?

    L-ittra i hija l-unità immaġinarja, b’i² = −1. Tidher meta d-diskriminant huwa negattiv: il-parabola qatt ma taqsam l-assi x, allura m’hemm l-ebda soluzzjoni reali, imma hemm żewġ soluzzjonijiet kumplessi.

    Nista’ nikteb deċimali jew frazzjonijiet bħala koeffiċjenti?

    Iva. Ikteb 0.5, 1/3 jew −2.25; il-kalkolu jibqa’ eżatt għax kull koeffiċjent jiġi kkonvertit l-ewwel f’frazzjoni.

    Kemm huma preċiżi l-valuri deċimali?

    Il-forma eżatta hija dejjem korretta. L-approssimazzjonijiet deċimali jiġu arrotondati għal seba’ ċifri sinifikanti, li huma biżżejjed għall-eżerċizzji u għal ħafna użi prattiċi.

    Kif insib il-vertiċi ta’ parabola?

    Uża h = −b / (2a), imbagħad k = f(h), li huwa wkoll −Δ / (4a). L-għodda turi ż-żewġ formuli bin-numri tiegħek fis-soluzzjoni pass pass.

    L-għerq doppju jingħadd darba jew darbtejn?

    Bħala soluzzjoni tal-ekwazzjoni huwa valur wieħed, muri darba. Bħala għerq tal-polinomju għandu multiplikità ta’ tnejn, u għalhekk il-forma fattorizzata fiha kwadru, bħal 2(x − 1)².

    Għodod relatati